Định nghĩa
Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ tập số thực R, hàm số f xác định trên X, nhận giá trị trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y duy nhất thuộc Y.
Ký hiệu
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} hoặc f : x ↦ f ( x ) {\displaystyle f\colon x\mapsto f(x)} hoặc y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)\,\!}
Với:
- Tập X gọi là miền xác định.
- Tập Y gọi là miền giá trị.
- x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.
- y gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số.
- f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x.
Cách cho hàm số
Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng biểu đồ hoặc bằng 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức trên từng khoảng, đoạn, nửa khoảng.
Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.
Hàm f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} được cho bảng sau:
Các hàm cho bằng biểu thức như y = 2 x + 3 {\displaystyle y=2x+3} , y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} , y = sin x {\displaystyle y=\sin x} ...
Lưu ý: Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến số thực) quy ước rằng:
- Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác định) của hàm số cho bằng biểu thức y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho f(x) có nghĩa.
Ví dụ: Hàm số y = log 2 x {\displaystyle y={\log }_{2}x} có miền xác định là { x ∈ R | x > 0 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |x>0\}} hay ( 0 ; + ∞ ) {\displaystyle (0;+\infty )} Hàm số y = ( x − 1 ) ( 3 − x ) {\displaystyle y={\sqrt {(x-1)(3-x)}}} có miền xác định là [ 1 ; 3 ] {\displaystyle [1;3]}
- Miền giá trị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của f ( x ) {\displaystyle f(x)} , nghĩa là f ( X ) {\displaystyle f(X)} .
Ví dụ: Miền giá trị của hàm số y = x ( 5 − x ) {\displaystyle y={\sqrt {x(5-x)}}} là [ 0 ; 2.5 ] {\displaystyle [0;2.5]} .
- Nếu X,Y ⊂ R {\displaystyle \subset \mathbb {R} } thì hàm số được gọi là hàm số thực.
Ví dụ: Hàm lượng giác y = sin x {\displaystyle y=\sin x} ,hàm mũ y = 2 x {\displaystyle y=2^{x}} ,...
- Nếu X,Y ⊂ C {\displaystyle \subset \mathbb {C} } thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức.
Ví dụ: Hàm dao động y = cos φ + i sin φ {\displaystyle y=\cos \varphi +i\;\sin \varphi } ;
- Nếu X ⊂ N {\displaystyle \subset \mathbb {N} } thì hàm số được gọi là hàm số số học.
Ví dụ: Hàm Euler ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} biểu diễn tổng tất cả các ước của số tự nhiên n...